Question

【题目】如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）取EC中点N，连接MN，BN，证明BN∥AM．说明BN平面BEC，且AM平面BEC，即可证明AM∥平面BEC；
（2）先证明ED⊥BC，BC⊥BD，ED∩BD=D，即可证明BC⊥平面BDE；
（3）利用VE-BCD=VD-BCE，求出底面DCB的面积，高为DE，即可求三棱锥D-BCE的体积．

证明：取中点，连结．

在△中，分别为的中点，

所以∥，且．

由已知∥，， 所以∥，且．

又因为平面，且平面， 所以∥平面．

（2）证明：在正方形中，．

又因为平面 平面，且平面平面，

所以平面，又平面，所以．

在直角梯形中，，，可得．

在△中，， 所以．

所以， 所以平面．

（3）由（2）知，，

所以

又因为平面，所以=