Question

（2010•合肥模拟）已知a是函数f（x）=x-1的零点，b=lg4+2lg5+3，正数m，n满足m+n=2，则

a

m

+

b

n

的最小值为

3+

5

．

Answer 1

分析：先根据零点的概念和对数的运算律，求出a，b的值，化简

a

m

+

b

n

，因为m+n=2，把

a

m

+

b

n

乘2再除2，展开，即可用均值不等式求最小值．

解答：解：∵a是函数f（x）=x-1的零点，∴a=1，，
b=lg4+2lg5+3=lg4+lg25+3=lg（4×25）+3=2+3=5
∴

a

m

+

b

n

=

1

m

+

5

n

=（

1

m

+

5

n

）×2×

1

2

=

( 1 m + 5 n )×2

2

=

( 1 m + 5 n )×(m+n)

2

=

1+ n m + 5m n +5

2

=

n m + 5m n +6

2

∵m，n均为正数，∴

n

m

+

5m

n

≥2

n m • 5m n

=2

5

∴

n m + 5m n +6

2

≥

6+2 5

2

=3+

5

当且仅当

n

m

=

5m

n

，即5m²=n²时，等号成立．
∴

a

m

+

b

n

的最小值为3+

5

故答案为3+

5

点评：本题主要考查应用均值不等式求和的最小值，关键是判断积是否为定值，如不是，想办法凑积为定值，应用均值不等式时一定要判断条件是否具备．