题目内容
已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC=（2a-c）cosB
（I）求角B；
（II）设|
|=2，
•
=2，求a+c的值．
（I）求角B；
（II）设|
| AC |
| BA |
| BC |
分析：（I）由条件利用正弦定理得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，化简得cosB=
，再根据0＜B＜π，求得B的值．
（II）根据
•
=2 以及 cosB=
，求得 ac=4．再由由余弦定理求得a2+c2=b2+2accosB=8，化简可得（a+c）2=a2+c2+2ac=16，从而求得a+c的值．
| 1 |
| 2 |
（II）根据
| BA |
| BC |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（I）由条件利用正弦定理得：sinBcosC=（2sinA-sinC）cosB，
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB．…（2分）
又A+B+C=π，且sinA≠0，
∴cosB=
，…（4分），
∵0＜B＜π，∴B=
．…（5分）
（II）∵
•
=2，∴ca•cosB=2，…（6分）
∵cosB=
，∴ac=4．…（8分）
由余弦定理：b2=a2+c2+2acosB得：a2+c2=b2+2accosB=8，…（10分）
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，
∴a+c=4．…（12分）
则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
即sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，∴sin（B+C）=2sinAcosB．…（2分）
又A+B+C=π，且sinA≠0，
∴cosB=
| 1 |
| 2 |
∵0＜B＜π，∴B=
| π |
| 3 |
（II）∵
| BA |
| BC |
∵cosB=
| 1 |
| 2 |
由余弦定理：b2=a2+c2+2acosB得：a2+c2=b2+2accosB=8，…（10分）
∴（a+c）2=a2+c2+2ac=16，
∴a+c=4．…（12分）
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、诱导公式的应用，两个向量的数量积公式，属于中档题．
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