Question

已知函数f(x)=log2

x+1

x-1

+log2(x-1)+log2(p-x)．
（1）求函数f （x）的定义域；．
（2）解关于x的不等式：f（x）＞log₂（2x²-2x-4）
（3）求函数f （x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据对数的定义可知真数要大于0，建立关系式，求出交集即可求出函数f （x）的定义域；．
（2）先利用对数的运算性质进行化简整理，然后建立方程，讨论p的取值范围，从而求出不等式的解集；
（3）讨论真数所对应的二次函数的对称轴，从而得到二次函数在定义域上的单调性，从而得到二次函数的值域，根据复合函数的值域求解方法可求出所求．

解答：解：（1）由

x+1 x-1 ＞0 x-1＞0 p-x＞0

?

x＞1或x＜-1 x＞1 x＜p

?

x＞1 x＜p

∵函数的定义域不能为空集，故p＞1，函数的定义域为（1，p）．
（2）若1＜P≤2，解集φ若P＞2，解集(2，

4+p

3

)
（3）f(x)=log2[

x+1

x-1

•(x-1)•(p-x)]=log2(x+1)(p-x)=log2[-x2+(p-1)x+p]
令t=-x2+(p-1)x+p=-(x-

p-1

2

)2+

(p+1)2

4

=g(x)
①当

p-1 2 ＜1 p＞1

，即1＜p＜3时，t在（1，p）上单调减，g（p）＜t＜g（1），即0＜t＜2p-2，
∴f（x）＜1+log₂（p-1），
函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
②当

1≤ p-1 2 ≤ p+1 2 p＞1

即p≥3时，g(p)＜t≤g(

p-1

2

)，
即0＜t≤

(p+1)2

4

∴f（x）≤2log₂（p+1）-2，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）．
综上：当1＜p＜3时，函数f（x）的值域为（-∞，1+log₂（p-1））；
当p≥3时，函数f（x）的值域为（-∞，2log₂（p+1）-2）

点评：本题主要考查了对数函数的定义域以及对数不等式，同时考查了利用单调性研究函数值域的方法，属于中档题．