Question

已知函数f（x）=[cos（x-

π

2

）+sin（

3π

2

-x）]•2cos（2π-x）．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将f（x）按向量

a

平移后图象关于原点对称，求当|

a

|最小时的

a

．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为

2

sin（2x-

π

4

）-1，由此求得它的最小正周期的值以及单调增区间．
（2）设

a

=（a，b），f（x）按向量

a

平移后，所得函数的解析式为 y=

2

sin[2（x-a）-

π

4

）+b-1，根据所得函数是奇函数，故有-2a-

π

4

=kπ，k∈z，且b-1=0．当|

a

|最小时，
a=

π

8

，b=1，由此可得

a

的坐标．

解答：解：（1）函数f（x）=[cos（x-

π

2

）+siin（

3π

2

-x）]•2cos（2π-x）=（sinx-cosx ）•2cosx
=sin2x-cos2x-1=

2

sin（2x-

π

4

）-1．
故函数的最小正周期为

2π

2

=π．
令  2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，故函数的增区间为[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]．
（2）设

a

=（a，b），将f（x）按向量

a

平移后，所得函数的解析式为 y=

2

sin[2（x-a）-

π

4

）+b-1，
图象关于原点对称，故所得函数是奇函数，故有-2a-

π

4

=kπ，k∈z，且b-1=0．
当|

a

|最小时，a=

π

8

，b=1． 此时，

a

=（

π

8

，1）．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性、周期性、定义域和值域，以及二倍角公式的应用，属于中档题．