题目内容
（2013•青岛一模）已知函数f（x）=2x-1，对于满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，给出下列结论：
（1）（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＜0
（2）x2f（x1）＜x1f（x2）
（3）f（x2）-f（x1）＞x2-x1
（4）
＞f（
）
其中正确结论的序号是（ ）
（1）（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＜0
（2）x2f（x1）＜x1f（x2）
（3）f（x2）-f（x1）＞x2-x1
（4）
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
其中正确结论的序号是（ ）
分析：本题要借助指数函数的图象与性质来研究，对四个命题的形式加以变化变成规范的形式，利用相关的性质判断即可．
对于选项（1）由于）（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＜0 等价于
＜0故可借助函数的图象的单调性得出结论
对于选项（2）由于x2f（x1）＜x1f（x2）等价于
＞
，可借助函数图象上点的几何意义得出结论
对于选项（3）由于f（x2）-f（x1）＞x2-x1?
＞1，故可借助函数的图象上点的切线斜率变化规律得出结论
对于选项（4）
＞f（
）说明函数是一个凹函数，以此由函数图象即可得出结论．
对于选项（1）由于）（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＜0 等价于
| f( x 2)-f( x 1) |
| x 2-x 1 |
对于选项（2）由于x2f（x1）＜x1f（x2）等价于
| f( x 2) |
| x 2 |
| f( x 1) |
| x 1 |
对于选项（3）由于f（x2）-f（x1）＞x2-x1?
| f( x 2)-f( x 1) |
| x 2-x 1 |
对于选项（4）
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
解答：解
（1）∵f（x）=2x-1为R上的单调增函数，故满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，总有f（x1）＜f（x2），即f（x2）-f（x1）＞0，∴（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0，故（1）错误；
（2）设y=
=
=
，其几何意义为f（x）图象上的点与原点连线斜率，由函数f（x）=2x-1在（0，+∞）上的图象可知y=
为增函数，∵0＜x1＜x2，
∴
＜
，即x2f（x1）＜x1f（x2），（2）正确；
（3）∵函数f′（x）=2xln2，由x＞0，∴2xln2∈（ln2，+∞），即存在x0，使f′（x0）＜1，而f（x2）-f（x1）＞x2-x1?
＞1?函数f（x）在所给的区间上导数值恒大于1，∴（3）错误；
（4）
＞f（
）反映函数f（x）为凹函数，由f（x）=2x-1的图象可知此函数在（0，+∞）上确为凹函数，（4）正确
故正确结论的序号是：（2）、（4）
故选 C
（1）∵f（x）=2x-1为R上的单调增函数，故满足0＜x1＜x2的任意x1，x2，总有f（x1）＜f（x2），即f（x2）-f（x1）＞0，∴（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0，故（1）错误；（2）设y=
| f(x) |
| x |
| 2x-1 |
| x |
| f(x)-0 |
| x-0 |
| f(x) |
| x |
∴
| f(x 1) |
| x 1 |
| f(x 2) |
| x 2 |
（3）∵函数f′（x）=2xln2，由x＞0，∴2xln2∈（ln2，+∞），即存在x0，使f′（x0）＜1，而f（x2）-f（x1）＞x2-x1?
| f( x 2)-f( x 1) |
| x 2-x 1 |
（4）
| f(x1)+f(x2) |
| 2 |
| x1+x2 |
| 2 |
故正确结论的序号是：（2）、（4）
故选 C
点评：本题考查指数函数的图象，以及指数函数的单调性、凸凹性、变化率等性质的抽象表达，数形结合解决问题的思想方法
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