Question

给定曲线族2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）y=0，θ为参数，求该曲线族在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．

Answer 1

由联立y=2x与2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）y=0
得2（2sinθ-cosθ+3）x²-（8sinθ+cosθ+1）2x=0．
解得x1=0，x2=

8sinθ+cosθ+1

2sinθ-cosθ+3

，
要截得的弦最长，就必须x₂的绝对值最大．
利用正、余弦函数有界性，上式变为：
（2x₂-8）sinθ-（x₂+1）cosθ=1-3x₂

(2x2-8)2+(x2+1)2

sin(θ+φ）=1-3x₂；
因为|sin（θ+φ）|≤1，所以

5 x 22 -30x2+65

≥|1-3x2|，
-8≤x₂≤2．
该曲线族在y=2x上截得弦长的最大值是t=

22+1(x1-x2)2

=

5×64

=8

5