Question

过P（1，0）做曲线C：xy=1，x∈（0，+∞），的切线，切点为Q₁，设Q₁在x轴上的投影为P₁，又过P₁做曲线C的切线，切点为Q₂，设Q₂在x轴上的投影为P₂，…，依次下去得到一系列点Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n的横坐标为a_n．
（1）求a₁的值．
（2）求证数列{a_n}是等比数列．
（3）设，问是否存在实数m，使得对于任意的正整数M，N，都有|b_M-b_N|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可设切点Q_n（a_n，a_n^k），根据导数的几何意义可求切线方程，当n=1时由切线过点P（1，0）可求a₁
（2）由切线过点P_n-1（a_n-1，0），代入整理可得，可证
（3）由，构造函数，，由复合函数单调性可求数列{b_n}的最大项与最小项，而|b_M-b_N|＜|b_{n（最大值）}-b_{n（最小值）}|，可求m
解答：解：（1）y'=-x^-2，若切点是Q_n（a_n，a_n^k），
则切线方程为y-a_n^-1=-a_n^-2（x-a_n）．
当n=1时，切线过点P（1，0）
即0-a₁^-1=-a₁^-2（1-a₁）．得．
（2）当n＞1时，切线过点P_n-1（a_n-1，0）
即0-a_n^-1=-a_n^-2（a_n-1-a_n）．得．
∴数列{a_n}是首项为，公比为的等比数列．
∴．…（6分）
（3）
令，（8分）
由复合函数单调性可知
当时，y＜0．且单调递增．
当时，y＞0．且单调递增．
所以当，即n=2，时，b₂=17为最大值
当，即n=3，时，b₃=-15为最小值            （13分）
|b_M-b_N|＜|b₃-b₂|=32
所以m＞32                               …（15分）
点评：本题主要考查了利用函数的导数求解曲线在某点的切线方程，等比数列通项公式的求解及利用复合函数单调性判断数列的单调性进而求解数列的最大项及最小项，属于函数与数列知识的综合应用．