Question

已知不等式

t

t2+9

≤a≤

t+2

t2

在t∈（0，

2

]上恒成立，则a的取值范围是

[

2

11

，

2+ 2

2

]

．

Answer 1

分析：令f（t）=

t

t2+9

，g（t）=

t+2

t2

，t∈（0，

2

]，利用基本不等式可求得f（t）_max，g（t）_min，从而可得答案．

解答：解：∵t∈（0，

2

]，令f（t）=

t

t2+9

，g（t）=

t+2

t2

，
则f（t）=

t

t2+9

=

1

t+ 9 t

，∵t+

9

t

在（0，3]上单调递减，（0，

2

]?（0，3]，
∴t+

9

t

在（0，

2

]上单调递减，
∴f（t）在（0，

2

]上单调递增，
∴f（t）_max=f（

2

）=

2

2 2+9

=

2

11

；
同理可得g（t）=

t+2

(t+2-2)2

=

1

(t+2)+ 4 t+2 -4

在（0，

2

]上单调递减，
∴g（t）_min=g（

2

）=

2+ 2

2

．
∴f（t）_max≤a≤g（t）_min，即

2

11

≤a≤

2+ 2

2

．
故答案为：[

2

11

，

2+ 2

2

]．

点评：本题考查基本不等式，考查函数恒成立问题，着重考查双钩函数的性质，考查构造函数与转化的思想，综合性强，属于难题．