Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n²，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由已知条件可得 2a_n+1 +S_n -2=0，可得n≥2时，2a_n+s_n-1-2=0，相减后再得数列{a_n}是以1为首项，公比为

1

2

的等比数列，再求出通项公式；
（2）根据（1）和条件求出b_n，再利用错位相消法求出其前n项和T_n，然后化简整理求出前n项和．

解答：解：（1）：（Ⅰ）∵点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上，
∴2a_n+1 +S_n -2=0． ①
当n≥2时，2a_n+s_n-1-2=0． ②
①─②得 2a_n+1 -2a_n+a_n=0，即

an+1

an

=

1

2

（n≥2），
把n=1和a₁=1代入①，可得a₂=

1

2

，也满足上式，
∴{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
则a_n=(

1

2

)n-1，
（2）设数列{b_n}的前n项和是T_n，
由（1）得，b_n=na_n²=n(

1

2

)2(n-1)=n(

1

4

)n-1，
∴T_n=1+2×

1

4

+3×

1

42

+…+n(

1

4

)n-1     ①，
则

1

4

Tn=

1

4

+2×

1

42

+3×

1

43

+…+n(

1

4

)n    ②，
①-②得，

3

4

Tn=1+

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n-1

-n(

1

4

)n
=

1- 1 4n

1- 1 4

-n(

1

4

)n=

3

4

(1-

1

4n

)-n(

1

4

)n，
则T_n=1-

4n+3

3•4n

．

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，数列前n项和和通项的关系，以及错位相消法求数列的求和，是一道综合题，属于中档题．