Question

已知函数f（x）=2ax+

b

x

+lnx．
（1）若函数f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，求a，b的值；
（2）若f′（1）=2，函数f（x）在（0，+∞）上，f（x）是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，根据函数f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，建立方程组，即可求a，b的值；
（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），由f'（1）=2，可得b=2a-1，求导函数，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f'（x）≥0或f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，由此可得a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数f′(x)=2a-

b

x2

+

1

x

，（2分）
∵函数f（x）在x=1，x=

1

2

处取得极值，
∴

f′(1)=0 f′( 1 2 )=0

，∴

2a-b+1=0 2a-4b+2=0

，∴

a=- 1 3 b= 1 3

．                                   （4分）
（2）函数f（x）的定义域是（0，+∞），
因为f'（1）=2，所以b=2a-1．                                      （5分）
所以f′(x)=

2ax2+x-(2a-1)

x2

=

(x+1)[2ax-(2a-1)]

x2

                  （7分）
要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要f'（x）≥0或f'（x）≤0在（0，+∞）上恒成立．
当a=0时，f′(x)=

x+1

x2

＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上是单调函数；   （9分）
当a＜0时，令f'（x）=0，得x₁=-1，x2=

2a-1

2a

=1-

1

2a

＞1，
此时f（x）在（0，+∞）上不是单调函数；                                   （10分）
当a＞0时，要使f（x）在（0，+∞）上是单调函数，只要1-2a≥0，即0＜a≤

1

2

综上所述，a的取值范围是a∈[0，

1

2

]．                                      （12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．