题目内容
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）设M是线段BD上的一个动点，问当
| BM | BD |
（Ⅱ）求二面角F-BE-D的余弦值．
分析：（Ⅰ）以D为原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设M（t，t，0）．通过AM∥平面BEF，求出点M坐标为（2，2，0），即可得到
的值．
（Ⅱ）求出平面BDE的法向量
=（3，-3，0）和平面BEF的法向量
，利用向量法能求出二面角F-BE-D的余弦值．
| BM |
| BD |
（Ⅱ）求出平面BDE的法向量
| CA |
| m |
解答：解：（Ⅰ） 当
=
时，可使得AM∥平面BEF．
证明过程如下：
因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．
所以DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
所以
=tan60°=
．
由AD=2可知DE=3
，AF=
．
则A（3，0，0），F（3，0，
），E（0，0，3
），
B（3，3，0），C（0，3，0），
所以
=（0，-3，
），
=（3，0，-2
），（8分）
设平面BEF的法向量为
=（x，y，z），则
•
=0，
•
=0，
∴
，解得
=（4，2，
）．
点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则
=（t-3，t，0），
因为AM∥平面BEF，所以
•
=0，即4（t-3）+2t=0，解得t=2．
此时，点M坐标为（2，2，0），
=
符合题意．
（Ⅱ）因为AC⊥平面BDE，所以
为平面BDE的法向量，
∵
=（3，-3，0），平面BEF的法向量
=（4，2，
）．
所以cos＜
，
＞=
=
．
因为二面角为锐角，
所以二面角F-BE-D的余弦值为
．（8分）
| BM |
| BD |
| 1 |
| 3 |
证明过程如下：
因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．
所以DA，DC，DE两两垂直，以D为原点，DA，DC，DE分
别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz如图所示．
因为BE与平面ABCD所成角为60°，即∠DBE=60°，
所以
| ED |
| DB |
| 3 |
由AD=2可知DE=3
| 6 |
| 6 |
则A（3，0，0），F（3，0，
| 6 |
| 6 |
B（3，3，0），C（0，3，0），
所以
| BF |
| 6 |
| EF |
| 6 |
设平面BEF的法向量为
| m |
| m |
| BF |
| m |
| EF |
∴
|
| m |
| 6 |
点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则
| AM |
因为AM∥平面BEF，所以
| AM |
| m |
此时，点M坐标为（2，2，0），
| BM |
| BD |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）因为AC⊥平面BDE，所以
| CA |
∵
| CA |
| m |
| 6 |
所以cos＜
| m |
| CA |
| 12-6+0 | ||||
|
| ||
| 13 |
因为二面角为锐角，
所以二面角F-BE-D的余弦值为
| ||
| 13 |
点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间向量与空间直角坐标系的应用．
练习册系列答案
相关题目
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD．
如图，ABCD是边长为2的正方形，面EAD⊥面ABCD，且EA=ED，EF∥AB，且EF=1，O是线段AD的中点，三棱锥F-OBC的体积为
（2012•宁城县模拟）如图，ABCD是边长为1的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF．
如图，ABCD是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B都落在边AD上，记为B'；折痕与AB交于点E，以EB和EB’为邻边作平行四边形EB’MB．若以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系（如下图）：