Question

函数f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数．
（Ⅰ）求b的取值范围；
（Ⅱ）解关于x的不等式

2f′(x)-6x2+4

2x+1

＞b．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得x=0是f（x）的极大值，从而f′（0）=0，可求得c=0，继而求得f′（x）=3x²+2bx=0的两根，从而求得b的取值范围；
（Ⅱ）将

2f′(x)-6x2+4

2x+1

＞b化简为；

2bx+4-b

2x+1

＞0，利用标根法即可求得其解集．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2bx+c┉┉（1分）
由函数在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数
∴x=0是f（x）的极大值，
∴f′（0）=c=0┉┉（3分）
∴f′（x）=3x²+2bx=0的两根为x1=0，x2=-

2b

3

┉┉（4分）
∴-

2b

3

≥2，即b≤-3．┉┉（6分）
（Ⅱ）∵

2f′(x)-6x2+4

2x+1

＞b，
∴

2(3x2+2bx)-6x2+4

2x+1

-b＞0，┉┉（7分）
即：

4bx+4-2bx-b

2x+1

＞0，

2bx+4-b

2x+1

＞0┉┉（8分）
∵对应方程的根为x1=-

1

2

，x2=

b-4

2b

=

1

2

-

2

b

┉┉（9分）
∵b≤-3，
∴x₁＜x₂┉┉（10分）
∴解集为{x|-

1

2

＜x＜

1

2

-

2

b

}┉┉（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，分析得到-

2b

3

≥2是关键，利用标根法求解集是难点，考查综合分析与转化的能力，属于难题．