Question

已知曲线过上的点作曲线的切线交 轴于点，再过作轴的平行线交曲线C于点，再过作曲线C的切线交轴于点，再过作轴的平行线交曲线C于点，…，依次作下去，记点的横坐标为.

   （Ⅰ）求数列的通项公式；  

   （Ⅱ）记，设数列的前项和为，求证：.

Answer 1

解：（I）∵.    ∴曲线在点处的切线l_n的斜率为.

∴切线l_n的方程为.                                          

令得   ，

∴.

依题意点在直线上，

∴  又.   

∴数列是1为首项，为公比的等比数列.      

∴.                

（Ⅱ）由已知.

∴.           ①

.        ②

①―②得

.                                               

∴                                                                    

又时，.

又当时，.         

∴.

∴当时，.

∴           ∴.                                               

综上.