Question

已知函数f(x)=

x2+1 -1

x

(x＞0)，数列{a_n}满足a₁＞0，且a_n=f^-1（a_n+1）（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与na_n的大小；
（2）若a₁=1，证明：S_n+a_n＞1．

Answer 1

分析：（1）由f′(x)=

x2 x2+1 -( x2+1 -1)

x2

=

1- 1 x2+1

x2

＞0，知f（x）在（0，+∞）上为增函数．所以an+1=

an2+1 -1

an

＞0．又an+1-

1

2

an=

an2+1 -1

an

-

1

2

an=

an2+1 -(1+ 1 2 an2)

an

，an+1＜

1

2

an．所以a₁＞2a₂＞2²a₃＞…＞2^n-1a_n，由此能导出S_n＞na_n．
（2）由S_n＞（2ⁿ-1）a_n，知S_n+a_n＞2ⁿa_n．只需比较a_n与

1

2n

即可．an+1-1=

an2+1 -1

an

-1=

an2+1 -(1+an)

an

（a_n²+1）-（1+a_n）²=-2a_n＜0，所以0＜a_n+1＜1，0＜a_n＜1．由此能够证明an＞

1

2n-1

＞

1

2n

．∴Sn+an＞2nan＞2n×

1

2n

=1．

解答：解：（1）f(x)=

x2+1 -1

x

(x＞0)，
则f′(x)=

x2 x2+1 -( x2+1 -1)

x2

=

1- 1 x2+1

x2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．（2分）
∵a_n=f^-1（a_n+1），f(x)=

x2+1 -1

x

＞0(x＞0)
∴an+1=

an2+1 -1

an

＞0．（4分）
又an+1-

1

2

an=

an2+1 -1

an

-

1

2

an=

an2+1 -(1+ 1 2 an2)

an

，
∵(

an2+1

)2-(1+

1

2

an2)2=-

1

4

an4＜0，
∴an+1＜

1

2

an．
∴a₁＞2a₂＞2²a₃＞＞2^n-1a_n，
∴S_n=a₁+a₂+a_n＞2^n-1a_n+2^n-2a_n+a_n=（2ⁿ-1）a_n，
∴S_n-na_n＞（2ⁿ-n-1）a_n，∵2ⁿ-n-1=（1+1）ⁿ-n-1≥0
∴S_n-na_n＞0，∴S_n＞na_n．（8分）
（2）由（1）知S_n＞（2ⁿ-1）a_n，∴S_n+a_n＞2ⁿa_n．
下面只需比较a_n与

1

2n

即可．（9分）
∵an+1-1=

an2+1 -1

an

-1=

an2+1 -(1+an)

an

（a_n²+1）-（1+a_n）²=-2a_n＜0
∴0＜a_n+1＜1，∴0＜a_n＜1．
∴an=

2an+1

1-an+12

＜

2an+1

1-an+1

，∴

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

，即

1

an+1

＜

2

an

+1．
∴

1

an+1

+1＜2(

1

an

+1)，∴

1

an+1

+1＜2n-1(

1

a1

+1)=2n，
故an＞

1

2n-1

＞

1

2n

．∴Sn+an＞2nan＞2n×

1

2n

=1．（12分）

点评：本题考查数列的综合运用，解题时要注意公式的合理运用．