Question

已知函数f(x)=,x∈［1,+∞).

（1）当a=时，求函数f(x)的最小值；

（2）若对于任意x∈［1,+∞）,f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围.

Answer 1

解：（1）当a=时，f(x)==x++2,x∈［1,+∞).由f′(x)=1-=,当x∈［1,+∞)时，f′(x)＞0,

∴函数f(x)是增函数.

∴当x=1时，f(x)的最小值为.

（2）对任意x∈［1,+∞,f(x)＞0恒成立，即＞0对任意x∈［1,+∞恒成立.

∴x²+2x+a＞0对任意x∈［1,+∞)恒成立.设g(x)=x²+2x+a,则g′(x)=2x+2.

当x∈［1,+∞)时，g′(x)＞0.

∴函数g(x)是增函数.

∴当x=1时，g(x)取得最小值3+a.由题意3+a＞0.

∴a＞-3.