Question

9．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a₂+a₃=2，且a_n+3-a_n=1，n∈N^*．
（1）求S_3n；
（2）求$\frac{1}{{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{6}}$+…+$\frac{1}{{S}_{3n}}$．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，a₂+a₃=2，且a_n+3-a_n=1，n∈N^*．可得a₁+a₂+a₃=3，a₄+a₅+a₆=（a₁+1）+（a₂+1）+（a₃+1）=6，…，利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）利用（1）可得$\frac{1}{{S}_{3n}}$=$\frac{2}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，a₂+a₃=2，且a_n+3-a_n=1，n∈N^*．
∴a₁+a₂+a₃=3，a₄+a₅+a₆=（a₁+1）+（a₂+1）+（a₃+1）=6，…，
∴S_3n=3+6+…+3n=$\frac{3n（n+1）}{2}$．
（2）$\frac{1}{{S}_{3n}}$=$\frac{2}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴$\frac{1}{{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{6}}$+…+$\frac{1}{{S}_{3n}}$=$\frac{2}{3}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{3n+3}$．

点评 本题考查了递推关系的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．