Question

定义在R上的函数f（x），对任意的实数x，y，恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0．又f(1)=-

2

3

．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上是减函数；
（2）求函数f（x）在[-3，3]上的值域．

Answer 1

分析：（1）证明：令x=y=0，则由条件求得恒有f（x）+f（y）=f（x+y），可得f（0）=0．再令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
（2）令x+y=x₁，y=x₂且x₁＞x₂，则x=x₁-x₂＞0，由条件可得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），从而得到f（x）在R上是减函数．
（3）根据f(1)=-

2

3

、f(2)=-

4

3

，由f（x）+f（y）=f（x+y），求得f（3）和f（-3）的值，再根据函数f（x）在[-3，3]上是减函数，可得函数的值域．

解答：解：（1）证明：令x=y=0，则由定义在R上的函数f（x），对任意的实数x，y，
恒有f（x）+f（y）=f（x+y），可得f（0）=0．
再令y=-x，则f（x）+f（-x）=f（0）=0，f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数．
（2）令x+y=x₁，y=x₂且x₁＞x₂，x=x₁-x₂＞0，
由于当x＞0时，f（x）＜0，
故有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），f（x）在R上是减函数．
（3）又f(1)=-

2

3

．f(2)=-

4

3

，可得f（3）=3f（1）=-2，同理可得f（-3）=2，
再根据函数f（x）在[-3，3]上是减函数可得函数的值域为[-2，2]．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明，利用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．