Question

设f（x）=x²+bx+c（x∈R），且满足f'（x）+f（x）＞0．对任意正实数a，下面不等式恒成立的是

1. A.
   f（a）＞e^af（0）
2. B.
   f（a）＜e^af（0）
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：构造函数F（x）=e^x×f（x），根据题设条件，可得此函数是一个增函数，从而得F（a）＞F（0），于是可得答案．
解答：令F（x）=e^x×f（x），
∵f'（x）+f（x）＞0
∴F′（x）=（e^x）′×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x×f（x）+e^x×f′（x）
=e^x（f'（x）+f（x））＞0，
∴F（x）=e^x×f（x）为增函数，又a＞0，
∴F（a）＞F（0），即e^af（a）＞e⁰f（0）=f（0），
∴f（a）＞．
故选D．
点评：本题考查函数恒成立问题，构造函数F（x）=e^x×f（x）并研究其单调性是关键，也是难点，着重考查观察与分析问题的能力，属于好题，难题．