Question

定义在R上的函数f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)或中心对称，对任意的实数x均有f(x)=-f(x+

3

2

)且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+…+f（2009）的值为 ______．

Answer 1

由f（x+

3

2

）=-f（x），得f（x+3）=f[（x+

3

2

）+

3

2

]=-f（x+

3

2

）=f（x），则有周期T=3．
又∵f（x）的图象关于点(-

3

4

，0)成中心对称，即f（-

3

4

+x）=-f（-

3

4

-x），
令x=

1

4

代入上式，得f（-

1

2

）=-f（-1），即f（1）=f（-

1

2

+

3

2

）=-f（-

1

2

）=f（-1）=1，
∵f（-1）=1，f（0）=-2，函数的周期是3，
∴f（1+3k）=f（-2）=1，f（2+3k）=f（-1）=1，f（3+3k）=f（0）=-2，其中k是任意整数．
则f（1）+f（2）+…+f（2009）=

2007

3

[f（1）+f（2）+f（3）]+f（2008）+f（2009）
=669×（1+1-2）+f（1）+f（2）=2．
故答案为：2．