Question

16．已知公差不为0的等差数列{a_n}中，a₂，a₃，a₅成等比数列，a₁+a₂=1，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=a_n+${2}^{{a}_{n}}$，n∈N^*，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₂，a₃，a₅成等比数列可知a₂a₅=${{a}_{3}}^{2}$，结合a₁+a₂=1，组成一个关于首项、公差的方程组，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知a_n=n-1，从而b_n=n-1+2^n-1，利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂，a₃，a₅成等比数列，
∴a₂a₅=${{a}_{3}}^{2}$，
又∵a₁+a₂=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+4d）=（{{a}_{1}+2d）}^{2}}\\{2{a}_{1}+d=1}\end{array}\right.$，
化简得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}d=0}\\{2{a}_{1}+d=1}\end{array}\right.$，
∵d≠0，
∴a₁=0，d=1，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=n-1；
（Ⅱ）由（I）可知a_n=n-1，
∴b_n=a_n+${2}^{{a}_{n}}$=n-1+2^n-1，
∴T_n=[0+1+2+…+（n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1）
=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$
=$\frac{n（n-1）}{2}$+2ⁿ-1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．