题目内容

已知函数f（x）=log₂ $数学公式$ ，（x∈（-∞，- $数学公式$ ）∪（ $数学公式$ ，+∞））
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在区间（ $数学公式$ ，+∞）上的单调性．

解：（1）函数f（x）是奇函数．证明如下
证明：由题意可得函数的定义域关于原点对称
因为f（-x）=log₂ $\text{[math]}$ =log₂ $\text{[math]}$ =log_2（ $\text{[math]}$ ）^-1=-f（x），
所以函数f（x）是奇函数．
（2）f（x）在区间（ $\text{[math]}$ ，+∞）上的单调递减，证明如下
证明：令g（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ ，则g（x₁）-g（x₂）= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，则x₁-x₂＜0， $\text{[math]}$
∴即g（x₁）＜g（x₂）
∴g（x）在（ $\text{[math]}$ ）上单调递减
由于y=log₂g（x）在（0，+∞）单调递增，由复合函数的单调性可知y= $\text{[math]}$ 在（ $\text{[math]}$ ）单调递减
分析：（1）由f（-x）=log₂ $\text{[math]}$ =log₂ $\text{[math]}$ =log_2（ $\text{[math]}$ ）^-1=-f（x），可得
（2）令g（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，只要利用单调性的定义先检验函数g（x）在（ $\text{[math]}$ ）上单调性，结合y=log₂g（x）在（0，+∞）单调性及复合函数的单调性可判断
点评：本题主要考查了奇偶函数的定义、函数单调性的定义在判断函数的奇偶性、单调性中中的应用，解题的关键是熟练掌握基本定义、基本方法

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