Question

已知如图M是△ABC内一点，AB=2

6

，AC=3，∠BAC=75°，∠MAB=∠MBA=30°，求CM的长度．

Answer 1

分析：在三角形ABM中，由∠MAB与∠MBA的度数，利用三角形的内角和定理求出∠AMB的度数，进而得到sin∠AMB的值，由已知的AB及sin∠ABM，利用正弦定理求出AM的长，在三角形ACM中，先由∠CAM=∠BAC-∠MAB，求出∠CAM的度数，再由AC及AM的长，利用余弦定理列出关于CM的方程，求出方程的解即可得到CM的长．

解答：解：在△AMB中，
∵∠MAB=∠MBA=30°，
∴∠AMB=120°，又AB=2

6

，
由正弦定理

AB

sin∠AMB

=

AM

sin∠ABM

得：AM=

2 6 × 1 2

3 2

=2

2

，
在△ACM中，∠CAM=∠BAC-∠MAB=75°-30°=45°，AC=3，
根据余弦定理得：CM²=AC²+AM²-2AC•AM•cos∠CAM
=9+8-2×3×2

2

×

2

2

=5，
则CM=

5

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．