Question

已知向量=，==•+1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍；再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的值域．

Answer 1

解：（1）f（x）====2，
∴函数f（x）的最小正周期T==π，
由，解得（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；
（2）函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的倍得到y=2，
再把所得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）=2=2cos4x，
当x∈时，，
∴当x=0时，g（x）_max=2；当时，=-1．
∴函数y=g（x）在区间上的值域为[-1，2]．
分析：（1）利用数量积、两角和差的正弦公式即可把f（x）化为asin（ωx+φ）的形式，进而即可得出周期及其单调区间；
（2）利用图象变换的法则即可得到y=g（x），再利用三角函数的单调性即可得出值域．
点评：熟练掌握数量积、两角和差的正弦公式即可把f（x）化为asin（ωx+φ）的形式、三角函数周期及其单调性、图象变换的法则是解题的关键．