Question

【题目】如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α（0＜α＜ ）．

（1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；
（2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．

Answer 1

【答案】
（1）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，AP=8，则AE=8tanα．

所以S△APE= PA×AE=32tanα．

同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，PB=1，则BF=

所以S△PBF= PB×BF= ．

故△PAE与△PFB的面积之和为32tanα+

32tanα+ ≥2 =8

当且仅当32tanα= ，即tanα= 时取等号，

故当AE=1km，BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小

（2）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，则PE=

同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，则PF=

令f（α）=PE+PF= + ，0＜α＜

则f′（α）= =

f′（α）=0得tanα=

所以tanα= ，f（α）取得最小值，

此时AE=APtanα=8× =4，BF=

当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小

【解析】（1）借助三角函数求出△PAE与△PFB的面积，利用基本不等式性质，求出E，F的位置；（2）借助三角函数求出PE+PF，利用导数求出当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．