Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx．
（Ⅰ）求函数f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³图象的下方；
（Ⅲ）求证：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）先求导数，研究函数的极值点，通过比较与端点的大小从而确定出最大最小值．
（2）证明函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x³图象的下方，可采用构造辅助函数的办法，用两函数的差构造一个新的函数，求导分析辅助函数的单调性，得出在给定区间上函数值的符号，继而证出结论．
（3）把要证明结论的左边代式化简，展开二项式，重新组合后运用不等式性质．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

x2+lnx f′(x)=x+

1

x

，当x∈[1，e]时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=

1

2

，f(x)max=f(e)=

1

2

e2+1．
（Ⅱ）设F(x)=

1

2

x2+lnx-

2

3

x3，则 F′(x)=x+

1

x

-2x2=

(1-x)(1+x+2x2)

x

，
∵x＞1时F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上为减函数，又F（1）=-

1

6

＜0，故在[1，+∞）上，
F（x）＜0，即

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3，∴函数f（x）的图象在函数g（x）=

2

3

x3的图象的下方．
（Ⅲ）∵x＞0，∴[f′(x)]n-f′(xn)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)．
当n=1时，不等式显然成立，当n≥2时，有[f′(x)]n-f′(xn)=

c

1 n

xn-1

1

x

+

c

2 n

xn-2+…+

c

n-1 n

x

1

xn-1

=

c

1 n

xn-2+

c

2 n

xn-4+…+

c

n-1 n

1

xn-2

=

1

2

[

c

1 n

(xn-2+

1

xn-2

)+

c

2 n

(xn-4+

1

xn-4

)+…+

c

n-1 n

(

1

xn-2

+xn-2)]≥

1

2

(2

c

1 n

+2

c

2 n

+…+2

c

n-1 n

)=2n-2=2ⁿ-2．
∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

点评：本题考查了运用导数求闭区间上的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．构造函数，通过比较函数值与某一极值点的函数值的大小是证明一区间内函数图象高低的有效方法．