Question

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下两个底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a．
（Ⅰ）求异面直线AB₁与DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）已知F是AD的中点，求证：FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，求二面角F-CC₁-B的余弦值．

Answer 1

分析：解法1（几何法）：（I）过A点作AP，使AP∥DD₁，且AP=DD₁，连接A₁P，B₁P，可得∠B₁AP为异面直线AB₁与DD₁所成的角，解三角形B₁AP，即可得到异面直线AB₁与DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）由F为AD的中点，结合上、下两个底面ABCD和A₁B₁C₁D₁互相平行，且都是正方形，DD₁⊥底面ABCD，AB=2A₁B₁=2DD₁=2a，我们易得BC⊥FB₁，FB₁⊥GB₁，由线面垂直的判定定理可得FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）由（II）的结论，我们可得∠FC₁B₁是二面角F-CC₁-B的平面角，解三角形FC₁B₁即可得到二面角F-CC₁-B的余弦值．
解法2（向量法）：（I）以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系，分别求出异面直线AB₁与DD₁的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到异面直线AB₁与DD₁所成的角的余弦值；
（Ⅱ）分别求出向量

BB1

，

BC

，

FB1

的坐标，根据

BB1

•

FB1

=0，

BC

•

FB1

=0，我们可得

BB1

⊥

FB1

，且

BC

⊥

FB1

，再由线面垂直的判定定理得到FB₁⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅲ）由（II）可得

FB1

即为平面BCC₁B₁的一个法向量，求出平面FCC₁的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角F-CC₁-B的余弦值．

解答：（本小题满分12分）
解：法1：（Ⅰ）过A点作AP，使AP∥DD₁，且AP=DD₁，
连接A₁P，B₁P，如图所示
则∠B₁AP为异面直线AB₁与DD₁所成的角．
∴cos∠B1AP=

1

3

=

3

3

．…（3分）
（Ⅱ）∵F为AD的中点，∴BC⊥平面FB₁A₁，
从而BC⊥FB₁．…（5分）
∵FB₁²+GB₁²=2a²+2a²=4a²=FG²，…（6分）
FB₁⊥GB₁
∴FB₁⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（Ⅲ）由B₁C₁⊥平面CDD₁C₁，得B₁C₁⊥CC₁．
又由（2）FB₁⊥平面BCC₁B₁，∴由三垂线定理得，FC₁⊥CC₁，
∴∠FC₁B₁是二面角F-CC₁-B的平面角．…（10分）
∵F

C

2 1

=F

B

2 1

+B1

C

2 1

=

3

a，∴cos∠FC1B1=

B1C1

FB1

=

1

3

=

3

3

．
即二面角F-CC₁-B的余弦值为

3

3

．…（12分）
法2：以D为坐标原点，DA，DC，DD₁所在直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系．…（2分）
（Ⅰ）∵

AB1

=(-a，a，a)，

DD1

=(0，0，a)，
∴cos＜

AB1

，

DD1

＞=

3

3

．…（3分）
（Ⅱ）∵

BB1

=(-a，-a，a)，

BC

=(-2a，0，0)，

FB1

=(a，a，a)．…（6分）
∴

FB1 • BB1 =0 FB1 • BC =0.

∴FB₁⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（Ⅲ）由（2）知，

FB1

为平面BCC₁B₁的一个法向量．
设

n

=(x1，y1，z1)为平面FCC₁的一个法向量，则

CC1

=(0，-a，a)，

FC

=(-a，2a，0)．
由

n • CC1 =0 n • FC =0.

⇒

-ay1+az1=0 -ax1+2ay1=0.

令y₁=1，⇒x₁=2，z₁=1．
∴

n

=(2，1，1)．…（10分）
∴cos＜

FB1

，

n

＞=

3

3

，即二面角F-CC₁-B的余弦值为

3

3

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何综合题，异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定，其中解法1 （几何法）的关键是求出线面夹角及二面角的平面角，解法2（向量法）的关键是建立空间坐标系，将空间线面夹角，二面角及线面垂直问题转化为向量夹角问题．