Question

已知函数f（x）=（x²﹣a）e^x．
（1）若a=3，求f（x）的单调区间和极值；
（2）若x₁，x₂为f（x）的两个不同的极值点，且，
若恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

解（1）∵a=3，∴f（x）=（x²﹣3）e^x，
f'（x）=（x²+2x﹣3）e^x=0
∴x=﹣3或x=1
令f'（x）＞0，解得x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
令f'（x）＜0，解得x∈（﹣3，1），
∴f（x）的递增区间为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）；
递减区间为（﹣3，1）
当x=﹣3时，函数有极大值为6e^﹣3，当x=1时函数有极小值为﹣2e；
（2）由（x）=（x²+2x﹣a）e^x=0可得x²+2x﹣a=0
由题意两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=﹣2，x₁x₂=﹣a，
又∵，
∴||≥4||
∴|x₁+x₂|≥4|x₁x₂|
∴﹣≤a≤且△=4+4a＞0，
∴﹣≤a≤
设g（a）=3f（a）﹣+3a=3（a²﹣a）e^a﹣+3a
∴g'（a）=3（a²+a﹣1）（e^a﹣1）=0a=或a=0
又∵﹣≤a≤函数在[﹣，0）上单调递增，在[0，]上单调递减
∴g（a）_max=g（0）=0
∴b＞0