Question

18．已知（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列．设（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ．求：
（1）n的值；    
（2）a₅的值；
（3）a₀-a₁+a₂-a₃+…+（-1）ⁿa_n的值．

Answer 1

分析 （1）由题设可得1+${C}_{n}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=2×${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$，求得n的值．
（2）在（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ的展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求得r的值，可得a₅的值．
（3）在等式（x+$\frac{1}{2}$）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nx⁸ 的两边，取x=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈ 的值．

解答 解：（1）由题设可得（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ的展开式中前三项的系数成等差数列，∴1+${C}_{n}^{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=2×${C}_{n}^{1}$•$\frac{1}{2}$，
求得 n²-9n+8=0，解得n=8，或n=1（舍）．
（2）（x+$\frac{1}{2}$）ⁿ的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{8}^{r}$•x^8-r•${（\frac{1}{2}）}^{r}$，令8-r=5，求得r=3，所以a₅=7．
（3）在等式（x+$\frac{1}{2}$）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nx⁸ 的两边，取x=-1，
可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₈=$\frac{1}{256}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．