Question

已知椭圆Γ：(a＞b＞0)经过D(2，0)，E(1，)两点.

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)若直线与椭圆Γ交于不同两点A，B，点G是线段AB中点，点O是坐标原点，设射线OG交Γ于点Q，且.

①证明：

②求△AOB的面积.

 

Answer 1

(1)；(2)

【解析】

试题分析：(1)由已知M是PD的中点，利用P点在圆上，可以求出M的点轨迹方程为；(2)点Q在(1)中的椭圆上，G是OQ的中点，利用直线与椭圆的关系及中点坐标公式，即可找到k与m的关系，并进一步求出三角形AOB的面积.

试题解析：(1)由题意，得，解得

∴轨迹Γ的方程为； 5分

(2)①令

由消去y

得 6分

∴，即 (1)

∴

又由中点坐标公式，得

将代入椭圆方程，有

化简得： (2) 9分

②由(1)(2)得

且 (3)

在△AOB中， (4) 12分

∴由(2)(3)(4)可得

∴△AOB的面积是 13分

考点：动点轨迹，直线与椭圆的位置关系，中点坐标，平面向量的坐标运算，三角形的面积.