Question

（2013•盐城二模）已知数列{a_n}满足a₁=2，an+1=

a

n+1 n

-(n+1)．
（1）证明：a_n＞n（n≥3）；
（2）证明：

2+ 3 3+ 4 4+…+ n n

＜2．

Answer 1

分析：（1）直接利用数学归纳法的证明步骤直接证明a_n＞n（n≥3）即可；
（2）利用（1）证明的结果，通过类比推理证明

2+ 3 3+ 4 4+…+ n n

＜2．

解答：证明：（1）①因为a₁=2，a₂=2，所以a3=

a

3 2

-3=5＞3．
②假设n=k（k≥3）时不等式成立，即a_k＞k（k≥3）；
那么，当n=k+1时，因为

a

k+1 k

＞kk+1＞k2•k≥9k＞2k+2，
所以，ak+1=

a

k+1 k

-k-1＞k+1．这就是说n=k+1时，不等式也成立，
由①②数学归纳法知，当n≥3时a_n＞n．…（5分）
（2）由（1）知，an=

a

n n-1

-n＞0，得

a

n n-1

＞n，
所以an-1＞

n	n

．所以

a

n-1 n-2

-(n-1)＞

n	n

，即

a

n-1 n-2

＞(n-1)+

n	n

，
所以an-2＞

n-1	n-1+ n n

，以此类推，得2=a1＞

2+ 3 3+ 4 4+…+ n n

，问题得证．…（10分）

点评：本题考查数学归纳法的证明方法的应用，类比推理的应用，考查数学归纳法的证明步骤逻辑推理能力的考查．