Question

若函数f(x)=

1+3x+a•9x

，其定义域为（-∞，1]，则a的取值范围是（　　）

• A．a=-

  4

  9

• B．a≥-

  4

  9

• C．a≤-

  4

  9

• D．-

  4

  9

  ≤a＜0

Answer 1

分析：函数f（x）的定义域为（-∞，1]，即不等式1+3^x+a•9^x≥0的解集为（-∞，1]，令t=3^x换元后，得到不等式at²+t+1≥0的解集为（0，3]，由此可知该不等式对应的函数开口向下，且函数与t轴的右交点为（3，0）．

解答：解：∵函数f(x)=

1+3x+a•9x

的定义域为（-∞，1]，
∴不等式1+3^x+a•9^x≥0的解集为（-∞，1]，
令t=3^x，则不等式at²+t+1≥0的解集为（0，3]．
再令g（t）=at²+t+1，
∴g（3）=0，即9a+4=0，解得：a=-

4

9

．
故选：A．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，训练了换元法，解答的关键是根据不等式at²+t+1≥0的解集为（0，3]得到含有a的等式，属中档题，也是易错题．