Question

（2012•上高县模拟）已知数列{a_n}的前n项和Sn=-a_n-（

1

2

）^n-1+2   （n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项
（2）若

cn

n+1

=

an

n

，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）由S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2，得S_n+1=-a_n+1-（

1

2

）ⁿ+2，两式相减可得a_n+1与a_n的递推关系，构造等差数列即可求解
（2）由（1）及

cn

n+1

=

an

n

，可求c_n，结合数列通项的特点，考虑利用错位相减求和方法即可求解

解答：解：（1）由S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2，得S_n+1=-a_n+1-（

1

2

）ⁿ+2，
两式相减，得a_n+1=

1

2

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹．
因为S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2，
令n=1，得a₁=

1

2

．
对于a_n+1=

1

2

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，
两端同时除以（

1

2

）ⁿ⁺¹，得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+1，
即数列{2ⁿa_n}是首项为2¹•a₁=1，公差为1的等差数列，
故2ⁿa_n=n，所以a_n=

n

2n•

．--------（6分）
（2）由（1）及

cn

n+1

=

an

n

，得c_n=（n+1）（

1

2

）ⁿ，
所以T_n=2×

1

2

+3×（

1

2

）²+4×（

1

2

）³+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ，①

1

2

T_n=2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+4×（

1

2

）⁴+…+（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
由①-②，得

1

2

T_n=1+（

1

2

）²+（

1

2

）³+…+（

1

2

）ⁿ-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1--- 1 2

-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-

n+3

2n+1

．
所以T_n=3-

n+3

2n

．----------（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解通项，及数列的错位相减求和方法的应用，属于数列知识的综合应用