Question

已知等差数列{a_n}为递增数列，前n项和为S_n，n∈N^*，且S₃=a₅，a₁与S₅的等比中项为5．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}满足b_n=pn-a_n，且{b_n}的前n项和为T_n，n∈N^*，若对任意n∈N^*都有T_n≤T₆，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由S₃=a₅，a₁与S₅的等比中项为5，利用等差数列的通项公式及前n项和的公式表示出关于a₁和d的两个关系式，联立即可求出a₁和d的值，根据等差数列{a_n}为递增数列判断出满足题意的一对值，然后根据a₁和d的值写出数列的通项公式即可；
（II）把a_n的通项公式代入到b_n=pn-a_n中得到b_n也是一个等差数列，根据等差数列的前n项和的公式表示出T_n，由T_n≤T₆，n=6时最大，得到T_n是一个开口向下的抛物线，所以二次项系数

p-2

2

小于0，且5.5≤-

p 2

2× p-2 2

≤6.5，求出不等式的解集即可得到p的取值范围．

解答：解：（I）由题意

s3=a5 25=a1•s5

可得

2a1=d a1(5a1+10d)=25

，即a₁²=1
∴

a1=1 d=2

或

a1=-1 d=-2

∵{a_n}为递增的等差数列，
∴d＞0，∴

a1=1 d=2

，
∴a_n=2n-1（n∈N^*）

（II）b_n=pn-2n+1=（p-2）n+1=p-1+（p-2）（n-1），
所以b_n是首项为p-1，公差为p-2的等差数列，
T_n=n（p-1）+

n(n-1)

2

（p-2）=

p-2

2

n²+

p

2

n，
由T_n≤T₆，n=6时最大，知T_n开口向下，
∴p＜2且5.5≤

p

2(2-p)

≤6.5
∴

11

6

≤p≤

13

7

点评：此题考查学生掌握等差数列的通项公式及前n项和的公式，灵活利用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道中档题．