Question

已知函数f（x）=|1-2^x|（x∈R），
（Ⅰ）当函数y=f（x）的定义域为[a，b]（b＞a＞0）时，其值域为[1，3]，求实数a，b的值．
（Ⅱ）当a≠b，且f（a）=f（b）时，求2^a+2^b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的定义为[a，b]（b＞a＞0），可得f（x）=2^x-1，结合函数的单调性和极域，可构造关于a，b的方程组，解方程组可得a，b的值；
（II）由f（a）=f（b）得：|1-2^a|=|1-2^b|，结合b＞a＞0，可得1-2^a=2^b-1，进而可得2^a+2^b=2；

解答：解：（I）∵x＞0，
∴f（x）=2^x-1…（1分）
又函数f（x）=2^x-1在（0，+∞）是增函数，其值域为[1，3]，
则

f(a)=1 f(b)=3

…（3分）
即

2a-1=1 2b-1=3

解得：

a=1 b=2

…（5分）
（ⅠI）由f（a）=f（b）得：|1-2^a|=|1-2^b|，…（6分）
∴1-2^a=1-2^b或1-2^a=2^b-1，…（8分）
∵a≠b，
∴1-2^a≠1-2^b…（9分）
∴1-2^a=2^b-1，
∴2^a+2^b=2…（10分）

点评：本题考查的知识点是指数函数的综合应用，熟练掌握指数函数的图象和性质是解答的关键．