Question

【题目】椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点

(1)求椭圆方程；

(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点,证明．

Answer 1

【答案】(1)(2)见解析

【解析】

(1)设椭圆方程为，由题设代入点的坐标，求得，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程，联立方程组，利用根与系数的关系，得到，再由向量的数量积的运算求得，即可得到答案.

解：(1)设椭圆方程为 ，

由，椭圆过点 可得，

解得 所以可得椭圆方程为.

(2)由题意可设直线MN的方程为：，

联立直线MN和椭圆的方程：

化简得(k2＋4)y2－ky－＝0.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则y1y2＝，y1＋y2＝

又A(－2,0)，则＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(k2＋1)y1y2＋ k(y1＋y2)＋＝0，

所以.