Question

已知函数f(x)=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+

π

12

)．
（1）设x=x₀是函数y=f（x）图象的一条对称轴，求g（x₀）的值；
（2）求使函数h(x)=f(

ωx

2

)+g(

ωx

2

)（ω＞0）在区间[-

2π

3

，

π

3

]上是增函数的ω的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得2x0=kπ+

π

2

，(k∈Z)，代入g（x）可得g(x0)=

1

2

[1+cos(2x0+

π

6

)]=

1

2

[1+cos(kπ+

2

3

π)]，利用诱导公式可求
（2）由h(x)=(1+

1

2

sinωx)+

1

2

[1+cos(ωx+

π

6

)]=

1

2

sin（ωx+

1

3

π）+

3

2

，由题意可得 [-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，可求

解答：解：（1）由题设知f(x)=1+

1

2

sin2x，因为x=x0是函数y=f（x）图象的一条对称轴，
所以2x0=kπ+

π

2

，(k∈Z)---------（2分）
g(x0)=

1

2

[1+cos(2x0+

π

6

)]=

1

2

[1+cos(kπ+

2

3

π)]
当k为偶数时，g(x0)=

1

2

(1+cos

2

3

π)=

1

4

；
当k为奇数时，g(x0)=

1

2

(1+cos

π

3

)=

3

4

------------------------------（6分）
（2）因为h(x)=(1+

1

2

sinωx)+

1

2

[1+cos(ωx+

π

6

)]
=

1

2

(sinωx+

3

2

cosωx-

1

2

sinωx)+

3

2

=

1

2

sin(ωx+

π

3

)+

3

2

-------------（8分）
当x∈[-

2π

3

，

π

3

]时，ωx+

π

3

∈[-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]，
因为h(x)在[-

2π

3

，

π

3

]上是增函数，且ω＞0，
所以 [-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]⊆[-

π

2

，

π

2

]，
即

- 2ωπ 3 + π 3 ≥- π 2 ωπ 3 + π 3 ≤ π 2

解得ω≤

1

2

所以ω的最大值为

1

2

-------------（12分）

点评：本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式在三角函数化简 中的应用，正弦函数的对称性及单调性的应用，本题具有一定的综合性