Question

已知函数f(x)=

1-x

ax

+lnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=1时，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，
∴f'（x）=

ax-1

ax2

   （a＞0）
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数
∴f'（x）=

ax-1

ax2

≥0对 x∈[1，+∞）恒成立 
∴ax-1≥0 在x∈[1，+∞）上恒成立 
∴a≥

1

x

，对x∈[1，+∞）恒成立 
∴a≥1．
（Ⅱ）当a=1时，f'（x）=

x-1

x2

．
当x∈[

1

2

，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[

1

2

，1）上单调递减；
当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上单调递增．
∴f（x）在x∈[

1

2

，2]上有唯一极小值点，
故f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=0
∵f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

．
∵e³＞16，∴f（

1

2

）-f（2）＞0?f（

1

2

）＞f（2）．（10分）
∴f（x）在区间[

1

2

，2]上的最大值f（x）=f（

1

2

）=1-ln2．
综上可知，函数f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．