题目内容
已知a＞0，函数f(x)=lnx-ax2，x＞0，（f(x)的图像连续不断）
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明：存在x0∈(2，+∞)，使
；
（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f(α)=f(β)，证明：
．
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）当
时，证明：存在x0∈(2，+∞)，使；（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f(α)=f(β)，证明：
． （Ⅰ）解：
，
令f′(x)=0，解得
，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递增区间是
，f(x)的单调递减区间是
。
（Ⅱ）证明：当
时，
，
由（Ⅰ）知f(x)在（0，2）内单调递增，在(2，+∞)内单调递减，
令
，
由于f(x)在（0，2）内单调递增，
故
，即g（2）＞0，
取
，则
，
所以存在
，使
，
即存在
，使
。
（Ⅲ）证明：由f(α)=f(β)及（Ⅰ）的结论知
，
从而f(x)在[α，β]上的最小值为f（a），
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知
，
故
，即
，
从而
。
，令f′(x)=0，解得
，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以，f(x)的单调递增区间是
，f(x)的单调递减区间是。（Ⅱ）证明：当
时，，由（Ⅰ）知f(x)在（0，2）内单调递增，在(2，+∞)内单调递减，
令
，由于f(x)在（0，2）内单调递增，
故
，即g（2）＞0，取
，则，所以存在
，使，即存在
，使。（Ⅲ）证明：由f(α)=f(β)及（Ⅰ）的结论知
，从而f(x)在[α，β]上的最小值为f（a），
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知
，故
，即，从而
。 
练习册系列答案
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已知a＞0，函数f（x）=ax2+bx+c，若x0满足关于x的方程2ax+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（ ）
| A、?x∈R，f（x）≤f（x0） | B、?x∈R，f（x）≥f（x0） | C、?x∈R，f（x）≤f（x0） | D、?x∈R，f（x）≥f（x0） |