Question

2．下列数列中个数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等比数列，公比均相等，已知

（1）求数列{a_n1}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{1n}}{{a}_{n1}}$，n∈N⁺，T_n为数列{b_n}的前n项和，若T_n＜m²-7m对一切n∈N⁺都成立，求最小的正整数m的值．

Answer 1

分析 （1）设第一行等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，（q＞0），由题意得到关于d，q的方程组解之得到通项公式；
（2）由（1）得到数列b_n的通项公式，利用错位相减法求和，然后根据恒成立问题求m的值．

解答 解：（1）设第一行等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，（q＞0），由题意得$\left\{\begin{array}{l}{（1+2d）q=14}\\{（1+d）{q}^{2}=16}\end{array}\right.$，解答d=3，q=2，∴a_n1=a₁₁•q^n-1=2^n-1；
（2）由（1）得a_1n=a₁₁+（n-1）d=3n-2，∴b_n=$\frac{3n-2}{{2}^{n-1}}$，
∴T_n=$\frac{1}{{2}^{0}}+\frac{4}{{2}^{1}}+\frac{7}{{2}^{2}}+…+\frac{3n-5}{{2}^{n-2}}+\frac{3n-2}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{2}+\frac{4}{{2}^{2}}+\frac{7}{{2}^{3}}+…+\frac{3n-5}{{2}^{n-1}}+\frac{3n-2}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=1+3×（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{3n-2}{{2}^{n}}$=1+3×$\frac{\frac{1}{2}[1-（\frac{1}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{3n-2}{{2}^{n}}$=4-$\frac{3}{{2}^{n-1}}-\frac{3n-2}{{2}^{n}}$．
所以T_n=8-$\frac{3n+4}{{2}^{n-1}}$，又T_n＜m²-7m对一切n∈N⁺都成立，故m²-7m＞（T_n）_max，n∈N⁺，
所以m²-7m≥8，即m≥8或m≤-1，所以最小的正整数m的值是8．

点评 本题考查了数列的通项公式、数列求和以及恒成立问题的解答；关键是由题意求出数列的通项公式，利用错位相减法求和．