题目内容

一动圆与圆 $数学公式$ 外切，与圆 $数学公式$ 内切．
（I）求动圆圆心M的轨迹L的方程．
（Ⅱ）设过圆心O₁的直线l：x=my+1与轨迹L相交于A、B两点，请问△ABO₂（O₂为圆O₂的圆心）的内切圆N的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程，若不存在，请说明理由．

解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为R．
由题意，动圆与圆 $\text{[math]}$ 外切，与圆 $\text{[math]}$ 内切∴|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R，∴|MO₁|+|MO₂|=4．（3分）
由椭圆定义知M在以O₁，O₂为焦点的椭圆上，且a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3．
∴动圆圆心M的轨迹L的方程为 $\text{[math]}$ ．（6分）
（2）如图，设△ABO₂内切圆N的半径为r，与直线l的切点为C，则三角形△ABO₂的面积 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 最大时，r也最大，△ABO₂内切圆的面积也最大，（7分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），
则 $\text{[math]}$ ，（8分）
由 $\text{[math]}$ ，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（10分）
∴ $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则t≥1，且m²=t²-1，
有 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
当t≥1时，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4， $\text{[math]}$ ，
即当t=1，m=0时，4r有最大值3，得 $\text{[math]}$ ，这时所求内切圆的面积为 $\text{[math]}$ ，
∴存在直线l：x=1，△ABO₂的内切圆M的面积最大值为 $\text{[math]}$ ．（14分）
分析：（1）利用动圆与圆 $\text{[math]}$ 外切，与圆 $\text{[math]}$ 内切，可得|MO₁|=R+1，|MO₂|=3-R，∴|MO₁|+|MO₂|=4，由椭圆定义知M在以O₁，O₂为焦点的椭圆上，从而可得动圆圆心M的轨迹L的方程；
（2）当 $\text{[math]}$ 最大时，r也最大，△ABO₂内切圆的面积也最大，表示出三角形的面积，利用换元法，结合导数，求得最值，即可求得结论．
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确运用椭圆的定义，确定 $\text{[math]}$ 最大时，r也最大，△ABO₂内切圆的面积也最大