Question

已知正四棱锥的侧面是正三角形，设侧面与底面所成的二面角为θ₁，相邻两侧面所成的二面角为θ₂，则（　　）

• A．θ1=

  π

  2

  -θ2
• B．θ1=

  π

  2

  -

  θ2

  2

• C．θ₁=θ₂
• D．θ1=

  θ2

  2

Answer 1

分析：由已知中正四棱锥的侧面是正三角形，侧面与底面所成的二面角为θ₁，相邻两侧面所成的二面角为θ₂，我们可以画出满足条件的图形，结合二面角的定义，我们可以找到θ₁，θ₂对应的平面角，解三角形求出它们的三角函数值，进而可以判断出θ₁与θ₂的关系．

解答：解：正四棱锥S-ABCD中，取AB的中点E，AB的中点F，底面ABCD的中点O，
连接AF，CF，AC，SE，SO，OE，
由正四棱锥的结构特征，易得∠SEO=θ₁，∠AFC=θ₂，
由已知中四棱锥的侧面是正三角形，故边长设为1，
则在△SOE中，SE=

3

2

，OE=

1

2

∴cos∠SEO=cosθ₁=

OE

SE

=

3

3

在△AFC中，AF=FC=

3

2

，AC=

2

则cos∠AFC=cosθ₂=-

1

3

又∵cos2θ₁=2cos²θ₁-1=-

1

3

故θ₂=2θ₁，
即θ1=

θ2

2

故选D

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及其求法，其中画出满足条件的图象，找出二面角的平面角，将二面角问题转化为解三角形问题，是解答本题的关键．