Question

18．已知双曲线$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（　　）

• A． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• B． $\left?{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}\right?$
• C． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• D． $（{-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$

Answer 1

分析 渐近线方程y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x，当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点，由此能求出此直线的斜率的取值范围．

解答 解：渐近线方程y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
当过焦点的两条直线与两条渐近线平行时，
这两条直线与双曲线右支分别只有一个交点
（因为双曲线正在与渐近线无限接近中），
那么在斜率是[$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$]两条直线之间的所有直线中，
都与双曲线右支只有一个交点．
此直线的斜率的取值范围[$-\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故选：A．

点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．