Question

已知奇函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求实数c的最小值；
（3）若关于p的一元二次方程p²-2mp+4=0两个根均大于1，求函数g(x)=

f(x)

x

+mlnx的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的性质f（-x）=f（x），已知条件函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2可以推出f′（1）=0和f（1）=2，代入即可求得函数y=f（x）的解析式；
（2）根据题意对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，将问题转化为）|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|，求出f（x）的最大值和最小值即可；
（3）已知关于p的一元二次方程p²-2mp+4=0两个根均大于1，根据根与系数的关系求出m的范围，利用导数研究函数g（x）的单调性；

解答：解：（1）∵奇函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=1处取得极大值2，奇函数f（-x）=-f（x），解得b=0，
可得f′（x）=3ax²+c
由题

b=0 f′(1)=0 f(1)=2

，解得

a=-1 b=0 c=3

，f（x）=-x³+3x；
（2）|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
根据（1）可得f（x）=-x³+3x；
求导得f′（x）=-3x²+3=-3（x²-1）令f′（x）=0，可得x=1或-1，
当f′（x）＞0即-1＜x＜1，f（x）为增函数，
当f′（x）＜0时即x＞1或x＜-1，f（x）为减函数，
f（x）在x=1处取极大值f（1）=2，在x=-1处取得极小值f（-1）=-，2；
f（-2）=2，f（2）=-2，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
要使对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
故c的最小值为4；
（3）p²-2mp+4=0两个根均大于1，
则求得2≤m＜

5

2

，g（x）=-x²+3+mlnx，则x＞0．
g′(x)=-2x+m•

1

x

=

-2x2+m

x

．
而2≤m＜

5

2

，则x∈(0，

m 2

)时，g'（x）＞0，
故(0，

m 2

)是g（x）的单调增区间，x∈(

m 2

，+∞)时，g'（x）＜0，故(

m 2

，+∞)是g（x）的单调减区间．

点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查的知识点比较全面是一道中档题，这类题是高考的热点问题；