Question

（06年湖南卷文）（14分）

已知函数.

       （Ｉ）讨论函数的单调性；

       （Ⅱ）若曲线上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围.

Answer 1

解析：（Ⅰ）由题设知.

令.

当（i）a>0时，

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

（i i）当a＜0时，

若，则，所以在区间上是减函数；

 

若，则，所以在区间上是减函数；

若，则，所以在区间上是增函数；

若，则，所以在区间上是减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，且函数在处分别是取得极值，.

因为线段AB与x轴有公共点，所以.

即.所以.

故.

解得　－1≤a＜0或3≤a≤4.

即所求实数a的取值范围是[-1，0)∪[3，4].