Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与x轴交于点C．
（1）证明：∠ACF=∠BCF；
（2）求∠ACB的最大值，并求∠ACB取得最大值时线段AB的长．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题设知，F（

p

2

，0），C（-

p

2

，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为x=my+

p

2

，
代入抛物线方程y²=2px，得y²-2pmy-p²=0．
y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-p²．…（4分）
不妨设y₁＞0，y₂＜0，则
tan∠ACF=

y1

x1+ p 2

=

y1

y12 2p + p 2

=

2py1

y12+p2

=

2py1

y12-y1•y2

=

2p

y1-y2

，
同理可得tan∠BCF=

y2

x2+ p 2

=

2p

y1-y2

，
∴tan∠ACF=tan∠BCF，
∴∠ACF=∠BCF．…（8分）
（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y₁＞0，tan∠ACF=

2py1

y12+p2

≤

2py1

2py1

=1，当且仅当y₁=p时取等号，
此时∠ACF取最大值

π

4

，
∴∠ACB=2∠ACF取最大值

π

2

，
并且A（

p

2

，p），B（

p

2

，-p），|AB|=2p．…（12分）