Question

在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3

3

，2)的入射光线l₁被直线l：y=

3

3

x反射，反射光线l₂交y轴于B点．圆C过点A且与l₁，l₂相切．求l₂所在的直线的方程和圆C的方程．

Answer 1

分析：（1）欲求l₂所在的直线的方程，即求直线l₁关于直线l的对称的直线方程，l₂所在的直线必过直线l₁与直线l的交点，再利用对称直线倾斜角间的关系求出l₂的倾斜角进而得其斜率即可求得其方程；
（2）欲求圆C的方程，关键是求出其半径与圆心坐标，由已知得圆C与l₁切于点A，设C（a，b），利用圆心C在过点D且与l垂直的直线上，及圆心C在过点A且与l₁垂直的直线上，列式求出圆心坐标及圆C的半径即得所求圆C的方程．

解答：解：直线l₁：y=2，设l₁交l于点D，则D（2

3

，2）．
∵l的倾斜角为30°，∴l₂的倾斜角为60°，（2分）
∴k2=

3．

∴反射光线l₂所在的直线方程为
y-2=

3

(x-2

3

)．即

3

x-y-4=0．（4分）
已知圆C与l₁切于点A，设C（a，b）
∵圆心C在过点D且与l垂直的直线上，
∴b=-

3

a+8①（6分）
又圆心C在过点A且与l₁垂直的直线上，
∴a=3

3

②，由①②得

a=3 3 b=-1

，
圆C的半径r=3．
故所求圆C的方程为(x-3

3

)2+(y+1)2=9．（10分）

点评：本小题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程、圆的方程、切线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．