题目内容
已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若θ为锐角，且f(θ+
)=
，求tanθ的值．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若θ为锐角，且f(θ+
| π |
| 8 |
| ||
| 3 |
分析：（Ⅰ）f（x）解析式两项分别利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f（x）的最小正周期，由正弦函数的递增区间[2kπ-
，2kπ+
]，k∈Z，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函数的递增区间；
（Ⅱ）将x=θ+
代入f（x）解析式，利用诱导公式变形求出cos2θ的值，再利用二倍角的余弦函数公式化简，得到cosθ的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ的值，即可求出tanθ的值．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（Ⅱ）将x=θ+
| π |
| 8 |
解答：解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=
sin（2x+
），
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π，
令2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，解得：kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z，
则单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（θ+
）=
，∴
sin（2θ+
）=
，
∴cos2θ=2cos2θ-1=
，
∵θ为锐角，∴cosθ=
，
∴sinθ=
=
，
∴tanθ=
=
．
| 2 |
| π |
| 4 |
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期为π，
令2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
则单调递增区间为[kπ-
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
（Ⅱ）∵f（θ+
| π |
| 8 |
| ||
| 3 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| ||
| 3 |
∴cos2θ=2cos2θ-1=
| 1 |
| 3 |
∵θ为锐角，∴cosθ=
| ||
| 3 |
∴sinθ=
| 1-cos2θ |
| ||
| 3 |
∴tanθ=
| sinθ |
| cosθ |
| ||
| 2 |
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的单调性，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
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