Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b=5，c=

7

，且cos 2C+2cos（A+B）=-

3

2

．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）三角形中内角和等于π，故A+B=π-C，代入cos 2C+2cos（A+B）=-

3

2

．即可得关于C的方程求出C；
（2）∵三角形的面积S=

1

2

absinC，∴只须整体求出ab即可，这在a+b=5，c=

7

两者组合中可求得．

解答：解：（1）∵cos2C+2cos（A+B）=-

3

2

，
∴2cos²C-1-2cosC=-

3

2

，
∴cosC=

1

2

．∵0＜C＜180°，
∴C=60°．
（2）∵c²=a²+b²-2abcosC，
∴7=a²+b²-ab
=（a+b）²-3ab，
∵a+b=5，∴7=25-3ab，
∴ab=6，
∴S=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

点评：（1）三角形内角和定理是解决三角形问题的有力工具，在一些三角函数的综合题中，往往起先就用这个定理；
（2）三角形两个重要的定理：正余弦定理也是解决三角函数重要的工具，它们可以起到边与角之间的转化作用．