Question

已知函数f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

，g（x）=x²-2bx+4．若对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），则实数b取值范围是

[

14

2

，+∞)

．

Answer 1

分析：首先对f（x）进行求导，利用导数研究函数f（x）的最值问题，根据题意对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可，对g（x）的图象进行讨论根据对称轴研究g（x）的最值问题，从而进行求解．

解答：解：对任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），
∴只要f（x）的最小值大于等于g（x）的最小值即可．
∵函数f(x)=lnx-

1

4

x+

3

4x

（x＞0）
∴f′（x）=

1

x

-

1

4

+

-3

4x2

=-

(x-1)(x-3)

4x2

，
若f′（x）＞0，则1＜x＜3，f（x）为增函数；若f′（x）＜0，则x＞3或0＜x＜1，f（x）为减函数；
f（x）在x∈（0，2）上有极值，
f（x）在x=1处取极小值也是最小值f（x）_min=f（1）=-

1

4

+

3

4

=

1

2

∵g（x）=x²-2bx+4=（x-b）²+4-b²，对称轴x=b，x∈[1，2]，
当1＜b＜2时，g（x）在x=b处取最小值g（x）_min=g（b）=4-b²，由

1

2

≥4-b²，得b≥

14

2

或b≤-

14

2

，所以2＞b≥

14

2

．
当b≤1时，g（x）在[1，2]上是增函数，在x=1处取最小值g（x）_min=g（1）=1-2b=4=5-2b；由

1

2

≥5-2b，得b≥

9

4

，与b≤1矛盾，此时无解．
当b≥2时，g（x）在[1，2]上是减函数，在x=2处取最小值g（x）_min=g（2）=4-4b+4=8-4b；由

1

2

≥8-4b，得得b≥

15

8

，此时b≥2．
综上所述，b取值范围是[

14

2

，2）∪[2，+∞）=[

14

2

，+∞)
故答案为：[

14

2

，+∞)

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的，此题还涉及函数的恒成立问题，注意问题最终转化为求函数的最值问题上；